OS DESERTOS DE PRIMOS

Há a possibilidade de ocorrer concentrações de primos em alguns lugares e a ausência deles em outros. A ausência é mais fácil de mostrar, sendo essa denominada de “desertos de primos”. Um exemplo de “desertos de primos” é dado por: n! + 2, n! +3, …, n! + n, haja vista que n! + 2 é divisível por 2, n!+ 3 é divisível por 3, … , n! + n é divisível por n. Sempre haverá n – 1 números compostos e consecutivos. Escolhendo um valor para n, pode-se criar “desertos de primos”  tão grandes quanto se queira. Caso se escolha n = 11, tem-se 10 números compostos e consecutivos; se n = 101 tem-se 100 números compostos e consecutivos; se n = 1001 tem-se 1000 números compostos e consecutivos. E assim por diante.

De posse de uma tabela de primos ente 1 e 400000, para a nossa surpresa, descobriu-se que antes de n! + 2 e após n! + n  pode haver um ou mais números compostos e consecutivos.

Exemplos:

 Para n = 3:

3! + 2, 3! + 3, logo, os 2 números compostos e consecutivos são: 8 e 9. Mas após 3! + 3 existe 1 número composto: 10. Em vez de 2 números compostos e consecutivos, são 3.

Pra n = 4:

4! + 2, 4! + 3, 4! + 4, logo, os 3 números compostos e consecutivos são: 26, 27 e 28. Mas antes de 4! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos 24 e 25. Em vez de 3 números compostos e consecutivos, são 5.

Para n = 5:

5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5, logo, os 4 números compostos e consecutivos são: 122, 123, 124 e 125. Mas antes de 5! + 2 existem 8 números compostos e consecutivos: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120 e 121. E após 5! + 5 existe um número composto: 126. Em vez de 4 números compostos e consecutivos, são 13.

Para n = 6:

6! + 2, 6! + 3, 6! + 4, 6! + 5, 6! + 6, logo, os 5 números compostos e consecutivos são: 722, 723, 724, 725 e 726. Mas antes de 6! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos: 720 e 721. Em vez de 5 números compostos e consecutivos, são 7.

Para n = 7:

7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7, logo, os 6 números compostos e consecutivos são: 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 e 5047. Mas antes de 7! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos: 5040 e 5041. E após 7! + 7 existem 3 números compostos e consecutivos: 5048, 5049 e 5050. Em vez de 6 números compostos e consecutivos, são 11.

 Para n = 8:

8! + 2, 8! + 3, 8! + 4, 8! + 5, 8! + 6, 8! + 7, 8! + 8, logo, os 7 números compostos e consecutivos são: 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328. Mas antes de 8! + 2 existem 32 números compostos e consecutivos: 40290, 40291, 40292, 40293, 40294, 40295, 40296, 40297, 40298, 40299, 40300, 40301, 40302, 40303, 40304, 40305, 40306, 40307, 40308, 40309, 40310, 40311, 40312, 40313, 40314, 40315, 40316, 40317, 40318, 40319, 40320 e 40321. E após 8! + 8 existem 14 números compostos e consecutivos: 40329, 40330, 40331, 40332, 40333, 40334, 40335, 40336, 40337, 40338, 40339, 40340, 40341 e 40342. Em vez de 7 números compostos e consecutivos, são 53.

Para n = 9:

9! + 2, 9! + 3, 9! + 4, 9! + 5, 9! + 6, 9! + 7, 9! + 8, 9! + 9, logo, os 8 números compostos e consecutivos são: 362882, 362883, 362884, 362885, 362886, 362887, 362888, 362889. Mas antes de 9! + 2 existem 14 números compostos e consecutivos: 362868, 362869, 362870, 362871, 362872, 362873, 362874, 362875, 362876, 362877, 362878, 362879, 362880 e 362881. E após  9! + 9 existem 7 números compostos e consecutivos: 362890, 362891, 362892, 362893, 362894, 362895 e 362896. Em vez de 8 números compostos e consecutivos, são 29.

Para n = 10:

10! + 2, 10! + 3, 10! + 4, 10! + 5, 10! + 6, 10! + 7, 10! + 8, 10! + 9, 10! + 10, logo, os 9 números compostos e consecutivos são: 3628802, 3628803, 3628804, 3628805, 3628806, 3628807, 3628808, 3628809 e 3628810. Mas antes de 10! + 2 existem 12 números compostos e consecutivos: 3628790, 3628791, 3628792, 3628793, 3628794, 3628795, 3628796, 3628797, 3628798, 3628799, 3628800, 3628801. Em vez de 9 números compostos e consecutivos, são 21.

Para n = 11:

11! + 2, 11! + 3, 11! + 4, 11! + 5, 11! + 6, 11! + 7, 11! + 8, 11! + 9, 11! + 10, 11! + 11, logo, os 10 números compostos e consecutivos são: 39916802, 39916803, 39916804, 39916805, 39916806, 39916807, 39916808, 39916809, 39916810 e 39916811. Mas após 11! + 2 existem 5 números compostos e consecutivos: 39916812, 39916813, 39916814, 39916815 e 39916816. Em vez de 10 números compostos e consecutivos, são 15.

Para n = 12:

12! + 2, 12! + 3, 12! + 4, 12! + 5, 12! + 6, 12! + 7, 12! + 8, 12! + 9, 12! + 10, 12! + 11, 12! + 12, logo, os 11 números compostos e consecutivos são: 479001602, 479001603, 479001604,                                            479001605, 479001606, 479001607, 479001608, 479001609, 479001610, 479001611, 479001612. Mas antes de 12! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos: 479001600 e 479001601. E após 12! + 12 existem 16 números compostos consecutivos: 479001613, 479001614, 479001615, 479001616, 479001617, 479001618, 479001619, 479001620, 479001621, 479001622, 479001623, 479001624, 479001625, 479001626, 479001627 e 479001628. Em vez de 11 números compostos e consecutivos, são 29.

Para n = 13:

13! + 2, 13! + 3, 13! + 4, 13! + 5, 13! + 6, 13! + 7, 13! + 8, 13! + 9, 13! + 10, 13! + 11, 13! + 12, 13! + 13, logo, os 12 números compostos e consecutivos são: 39916802, 39916803, 39916804, 39916805, 39916806, 39916807, 39916808, 39916809, 39916810, 39916811, 39916812 e 39916813. Mas antes de 13! + 2 existem 22 números compostos e consecutivos: 39916780, 39916781, 39916782, 39916783, 39916784, 39916785, 39916786, 39916787, 39916788, 39916789, 39916790, 39916791, 39916792, 39916793, 39916794, 39916795, 39916796, 39916797, 39916798, 39916799, 39916800 e 39916801. E após 13! + 13 existem 53 números compostos e consecutivos: 39916814, 39916815, 39916816, 39916817, 39916818, 39916819, 39916820, 39916821, 39916822, 39916823, 39916824, 39916825, 39916826, 39916827, 39916828, 39916829, 39916830, 39916831, 39916832, 39916833, 39916834, 39916835, 39916836, 39916837, 39916838, 39916839, 39916840, 39916841, 39916842, 39916843, 39916844, 39916845, 39916846, 39916847, 39916848, 39916849, 39916850, 39916851, 39916852, 39916853, 39916854, 39916855, 39916856, 39916857, 39916858, 39916859, 39916860, 39916861, 39916862, 39916863, 39916864, 39916865 e 39916866. Em vez de 12 números compostos e consecutivos, são 87.

Conclusão. Com essa nova descoberta, os chamados desertos de primos aumentaram consideravelmente em relação àqueles que os matemáticos, até hoje, consideravam como sendo dado por:  n! + 2, n! +3,  …, n! + n.

 

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.