As Cônicas

As Cônicas, foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como secções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (l uma constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estavam entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porém se perderam, talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio.    A obra de nível mais avançado foi precisamente a feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi a obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o Geômetra Magno. O tratado consistia em oito livros que contém 387 proposições separadas. [Heath, 1921] diz que o texto sobre as cônicas é um grande clássico e que merecia ser mais conhecido, porém sua forma original é muito extensa.

Apenas os quatro primeiros livros foram preservados em grego e felizmente os três seguintes tinham sido traduzidos para árabe e também se preservaram.

Os quatro livros iniciais foram escritos como uma introdução elementar incluindo as proposições básicas das cônicas. A maioria dos resultados destes livros já eram sabidas por Euclides, Aristaeus e outros, como o próprio Apolônio afirmou. Os quatro últimos livros são extensões do assunto, estudos mais avançados.

No Livro 1 se estudam as propriedades dos diâmetros e tangentes das cônicas. No Livro 2 se investigam as relações entre as hipérboles e suas assíntotas. Também se estuda como desenhar tangentes às cônicas dadas. O Livro 3 é o que contém maior número de resultados novos que Apolônio considera os mais belos possíveis.

Os Livros de 5 a 7 são altamente originais. Neles se estuda o problema de achar normais às cônicas e se obtém proposições que determinam o centro de curvatura, o que conduz à equação cartesiana de evoluta. Heath diz que o Livro 5 é o mais notável dos livros existentes.    

Foi Apolônio quem pela primeira vez mostrou que a partir de um único cone é possível obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção. Também provou que o cone não precisa ser reto. Finalmente substituiu o cone de uma só folha por um cone duplo, sendo assim o primeiro a reconhecer a existência dos dois ramos da hipérbole.

Também foi Caley quem introduziu os nomes parábola, elipse e hipérbole, utilizados até hoje para identificar as cônicas correspondentes.

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Texto de: Fernanda Buhrer Rizzato; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies; revisão LOB
Bibliografia:

  • Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.
  • Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Ed. Unicamp, Campinas, 1997.
  • Heath, Thomas L., A History of Greek Mathematics, vol II, Clarendon Press, Oxford, 1921.
  • Polcino, César M. & Bussab, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica, FTD, São Paulo, 1999.

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