O início da Geometria Analítica

Enquanto Descartes e Fermat concebiam as idéias da geometria analítica moderna, Desarges e Pascal estavam descobrindo a geometria projetiva. Entre as duas há uma grande diferença, a primeira pode ser considerada um método da geometria e a segunda um ramo da geometria.

 Por volta de 1628, Descartes aplicou seus novos métodos ao problema das três e quatro retas de Papus e resolveu-o sem dificuldade. Mais tarde, no auge de sua capacidade, ele escreveu um tratado filosófico sobre a ciência universal sob o título de Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences (Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências). Este trabalho era acompanhado por três apêndices, um deles, o famoso La géométrie, que é a única publicação matemática de Descartes.

 O La géométrie é dividido em três partes. A primeira parte contém uma explanação de alguns dos princípios da álgebra geométrica e revela um avanço real em relação aos gregos. Enquanto para eles o produto de duas e três variáveis representavam, respectivamente, a área de um retângulo e o volume de um paralelepípedo, para Descartes, não sugeria uma área, mas sim o quarto termo da proporção , que pode ser facilmente representado por um segmento quando se conhece x. Além disso, é possível representar qualquer outra potência, o que os gregos não sabiam fazer.

 A segunda parte traz, entre outras coisas, uma classificação de curvas e um método interessante de construir tangentes à curvas. A terceira parte trata da resolução de equações de grau maior que dois e da regra de sinais de Descartesque determinava limites para o número de raízes positivas e negativas de um polinômio.

 Fermat, em 1629, através do seu trabalho de restauração de obras se propôs a reconstruir o Lugares planosde Apolônio e obteve um subproduto desse esforço: em 1636 descobriu o principio fundamental da geometria analítica. Enquanto Descartes partia de um lugar geométrico e então encontrava sua equação, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar correspondente. São esses os dois aspectos recíprocos do princípio fundamental da geometria analítica.

 Também é devido a Fermat a descoberta das curvas , e que ainda hoje são conhecidas como hipérboles, parábolas e espirais de Pascal.

 Mais tarde Jan De Witt, La Hire e Johann Bernoulli também deram a sua contribuição para a geometria analítica. Segundo parece, a idéia do sistema de coordenadas polares foi introduzida em 1691 por Jakob Bernoulli. Assim, com essa descoberta, os geômetras tiveram de romper com os sistemas cartesianos quando as situações indicavam um referencial mais conveniente. Afinal, as coordenadas foram feitas para os geômetras e não os geômetras para as coordenadas. Em 1731 Antoine Parent foi o primeiro a escrever analiticamente sobre curvas não-planas no espaço. Depois Euler prosseguiu com o assunto.

 Enquanto a geometria sintética fazia avanços, a geometria analítica atolava-se num pantanal de cálculos algébricos. Era necessário desenvolver procedimentos novos e avançados para a geometria analítica, que enfim entrou no seu período áureo. Julius Plücker foi um dos pioneiros a contribuir no aprimoramento da geometria analítica. Sua obra Analytisch-geometrische Entwicklungen, em dois volumes, foi publicada em 1828 e 1831.

 O primeiro volume faz o primeiro tratamento extenso do principio da notação abreviada, apesar de já ter sido empregado por Gabriel Lamé e Étienne Bobillier. Esta notação consistia em representar expressões longas por letras únicas. Assim teoremas aparentemente complexos, do ponto de vista algébrico, podiam ser demonstrados de forma muito mais breve e clara.

 No segundo volume ele redescobriu um novo sistema de coordenadas que já tinha sido estudado independentemente três vezes: as coordenadas homogêneas. Um de seus inventores foi Feuerbach, outro foi Möbius, o mais conhecido, que publicou o seu sistema em 1827 e ainda temos Étienne Bobillier que publicou o seu trabalho em 1827-1828.

 A princípio Plücker tomou suas três coordenadas x, y e t de um ponto P como sendo as três distâncias de P aos lados de um triângulo de referência. Mais tarde, no segundo volume de sua obra deu a definição mais usual. Um ponto P de coordenadas cartesianas (X,Y) tem como coordenada homogênea qualquer terno ordenado (x,y,t) tal que e , com esta definição as ternas (x,y,t) e  (kx,ky,kt) representam o mesmo ponto.

 O nome homogênea provém do fato de que, quando se converte a equação f(X,Y)=0 de uma curva algébrica em coordenadas cartesianas à forma , todos os termos da nova equação tem o mesmo grau em relação às novas variáveis. Um fato importante é que a terna (x,y,0) não tem representante em coordenadas cartesianas e representa um “ponto no infinito”, e assim os pontos ideais no infinito de Kepler, Desargues e Poncelet passam a ter representação num sistema de coordenadas. Desta forma, o uso das coordenadas homogêneas passa a ser um instrumento para a exploração da geometria projetiva.

 Plücker ainda escreveu mais dois livros, em 1835 System der analytischen Geometrie que contém uma classificação completa das curvas cúbicas baseadas na natureza de seus pontos no infinito. Em 1839, sua Theorie der algebraischen Curven dá uma enumeração das curvas de quarta ordem e suas quatro equações relacionando as singularidades de uma curva algébrica.

     Texto de: Fernanda Buhrer Rizzato; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:

  • Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.
  • Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Ed. Unicamp, Campinas, 1997.

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